В статье рассматриваются пространства периодических функций многих переменных, а именно пространство Лоренца Lp,τ(Tm), пространство Никольского - Бесова Srˉp,τ,θB, а также изучается наилучшее M-членное приближение функции f∈Lp,τ(Tm) тригонометрическими полиномами. Установлены точные по порядку оценки наилучших M-членных приближений функций класса Никольского - Бесова Srˉp,τ1,θB по норме пространства Lq,τ2(Tm) при различных соотношениях между параметрами p,q,τ1,τ2,θ.