Рассматриваются одномерные квазилинейные уравнения параболического типа с эффектом запаздывания для случая коэффициента теплопроводности, зависящего от искомой функции. Для учета эффекта запаздывания используются интерполяция и экстраполяция дискретной предыстории. Конструируется неявный разностный метод для численного решения этих уравнений. Возникающая система линейных уравнений обладает трехдиагональным преобладанием и решается методом прогонки. Исследуются порядок погрешности аппроксимации для построенного метода и порядок сходимости. Получена теорема о порядке сходимости метода, в которой используются методы из общей теории разностных схем и дискретный аналог леммы Гронуолла.