В кристаллах ферритов-гранатов с разным характером магнитной анизотропии в переменном гармоническом магнитном поле обнаружено асимметричное смещение доменных границ при их колебательном движении и асинхронность изменения скоростей соседних доменных границ при амплитудах поля, меньших поля начала дрейфового движения доменной структуры. Установлено, что в биполярном импульсном магнитном поле смещение доменных границ в направлении дрейфа превосходит величину смещения доменных границ в противоположном дрейфу направлении. Предложена теоретическая модель, в которой асимметричность колебаний доменных границ и дрейф возникают вследствие анизотропии параметра затухания. Работа выполнена в рамках базовой части госзадания Министерства образования и науки РФ (проекты N 3.6121.2017, 3.5719.2017).