Рассмотрена экстремальная задача для непрерывных неположительных на отрезке функций, представимых рядами по многочленам Лежандра с неотрицательными коэффициентами, возникающая из схемы Дельсарта оценки сверху контактного числа трехмерного евклидова пространства. Доказано, что единственной экстремальной функцией является многочлен -й степени, который представим в виде линейной комбинации многочленов Лежандра степеней с положительными коэффициентами, имеет простой нуль в точке и пять двойных нулей в интервале . Исследована двойственная экстремальная задача для неотрицательных мер на отрезке в частности доказано, что экстремальная мера единственная.