В недавних работах О. Свенссона и В. Трауб впервые обоснована аппроксимируемость асимметричной задачи коммивояжера (ATSP) в классе алгоритмов с фиксированными гарантиями точности. Как и знаменитый алгоритм Кристофидеса - Сердюкова для симметричных маршрутных задач, данные прорывные результаты, применяемые в качестве "черного ящика", позволили разработать первые полиномиальные приближенные алгоритмы с константными факторами аппроксимации для серии близких комбинаторных задач. Одновременно выявились задачи, в которых этот простой подход, основанный на сведении исходной задачи к одной или нескольким вспомогательным постановкам задачи коммивояжера, не приводит к успеху. В данной статье подход Свенссона - Трауб распространяется на более широкий класс задач о покрытии минимального веса взвешенного ориентированного графа ограниченным сверху числом циклов. В частности, впервые показывается, что задача о покрытии графа не более чем k циклами допускает полиномиальную аппроксимацию с константной точностью max{22+ε,4+k} для произвольного ε>0.