Рассматривается антагонистическая дифференциальная игра двух лиц. Движение динамической системы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто порядка Показатель качества состоит из двух слагаемых: первое зависит от движения системы, реализовавшегося к терминальному моменту времени, второе включает в себя интегральную оценку реализаций управлений игроков. В рамках позиционного подхода проведены формализации рассматриваемой дифференциальной игры в классах "стратегии - контрстратегии", "контрстратегии - стратегии" и, при дополнительном условии седловой точки для маленькой игры, "стратегии - стратегии". В каждом из случаев доказано существование цены и седловой точки игры. При этом основу доказательств составляет подходящая модификация метода экстремального сдвига на сопутствующие точки, учитывающая специфику систем дробного порядка.
