Установлено, что если функция распределения измеримой функции , заданной на ограниченной области (), при достаточно больших удовлетворяет оценке , где , - неотрицательная невозрастающая измеримая функция такая, что интеграл функции по конечен, и - положительная непрерывная функция с некоторыми дополнительными свойствами, то . При этом функция может быть как ограниченной, так и неограниченной. Даны следствия соответствующих теорем для некоторых конкретных отношений функций и . В частности, рассмотрен случай, когда функция распределения измеримой функции при достаточно больших удовлетворяет оценке , где и . При этом усилен результат, полученный автором ранее для , и в целом показано, как отличаются свойства интегрируемости функции в зависимости от того, какому из промежутков, или , принадлежит . Рассмотрен также случай, когда функция распределения измеримой функции при достаточно больших удовлетворяет оценке , где и . Приведены примеры, показывающие точность полученных результатов в соответствующих шкалах классов, близких к . Наконец, даны приложения этих результатов к энтропийным и слабым решениям задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка с правой частью из некоторых классов, близких к и определяемых с помощью логарифмической функции или ее двукратной композиции.