Подгруппа H группы G называется пронормальной, если для любого элемента g  G подгруппы H и Hg сопряжены в подгруппе (H,Hg). В [1] была высказана гипотеза о том, что подгруппа нечетного индекса в конечной простой группе всегда пронормальна. Недавно [2] авторы подтвердили эту гипотезу для всех конечных простых групп, за исключением PSLn(q), PSUn(q), E6 (q) и 2E6(q), где q во всех случаях нечетно и n не является степенью числа 2, а также P Sp2n (q), где q = ±3 (mod 8). Однако в [3] авторами было доказано, что при q = ±3 (mod 8) и n = 0 (mod 3) простая симплектическая группа P Sp2n (q) содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса. Тем самым гипотеза о пронормальности подгруппы нечетного индекса в конечной простой группе была опровергнута. Как естественное расширение данной гипотезы возникает проблема классификации конечных неабелевых простых групп, в которых любая подгруппа нечетного индекса пронормальна. В настоящей работе продолжается изучение этой проблемы для симплектической простой группы P Sp2n(q) при q = ±3 (mod 8) (в отсутствие этого ограничения подгруппы нечетных индексов пронормальны). Доказано, что если n не является числом вида 2m или 2m(22k + 1), то данная группа содержит непронормальную подгруппу нечетного индекса. Доказано, что если n = 2m, то все подгруппы нечетных индексов в группе P Sp2n(q) пронормальны. Для случая n = 2m (22k + 1) и q = ±3 (mod 8) вопрос о пронормальности подгрупп нечетных индексов в группе P Sp2n(q) пока остается открытым.