При заданных k∈N, h>0 на пространстве C=C(R) непрерывных ограниченных на вещественной оси R=(−∞,∞) функций рассматривается точное неравенство ∥W2k(f,h)∥C≤Ck∥f∥C для разностного оператора Бомана - Шапиро вида W2k(f,h)(x):=(−1)kh∫h−h(2kk)−1Δˆ2ktf(x)(1−|t|h)dt, где Δˆ2ktf(x):=∑j=02k(−1)j(2kj)f(x+jt−kt) - центральная конечная разность функции f порядка 2k с шагом t. При каждом фиксированном k∈N точная константа Ck в указанном неравенстве является нормой оператора W2k(⋅,h) из C в C. Доказано, что Ck не зависит от h, возрастает по k и предъявлен простой способ вычисления константы C∗=limk→∞Ck=2.6699263… с точностью 10−7. В работе также рассмотрена задача продолжения непрерывной функции f с отрезка [−1,1] на ось R. Для этого продолжения gf:=gf,k,h, k∈N, 0