Исследуется задача о достижимости в топологическом пространстве (ТП) при ограничениях асимптотического характера (ОАХ), возникающих при ослаблении требования принадлежности образа решения заданному множеству. Возникающее при этом множество притяжения (МП) в ТП является своеобразной регуляризацией образа прообраза упомянутого множества (образ и прообраз определяются для различных, вообще говоря, отображений). При построении естественных компактных расширений задачи о достижимости с ОАХ, порождаемых семейством окрестностей фиксированного множества, исследовался случай, когда ТП, в котором реализуются результаты того или иного выбора решения, удовлетворяет аксиоме T2. В настоящей работе для ряда положений, связанных с компактными расширениями, удается использовать в упомянутом качестве T1-пространство, что с теоретической точки зрения представляется достаточно важным, поскольку удается выяснить, в чем же именно состоит роль аксиомы T2 в вопросах, связанных с корректными расширениями задач о достижимости. Исследуются модели расширений с применением ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства с детализацией основных элементов в случае задачи о достижимости в пространстве функционалов с топологией тихоновской степени вещественной прямой с обычной |⋅|-топологией. Общие конструкции моделей расширения иллюстрируются на примере нелинейной задачи управления с фазовыми ограничениями.