Проект посвящён разработке новых нелинейных интегро-дифференциальных моделей с памятью для исследования аномального (уравнения переноса с дробными производными), диффузионного и реологического релаксационного транспорта в гетерогенных и биологически активных средах. Для описания свойств и внутренней структуры таких сред (материалов) будут построены и исследованы аналитические и численные решения разрабатываемых моделей. Полученные результаты будут сопоставлены с экспериментальными данными. Конкретными направлениями научных исследований являются следующие направления.
1. Исследование кинетики формирования цепочечных и объемных кластеров в системах броуновских и не броуновских магнитных частиц под действием внешнего поля. С целью описания нелинейных транспортных и реологических явлений в магнитных жидкостях будут исследованы особенности структурирования магнитных жидкостей в условиях макроскопического гидродинамического течения этих систем. С этой целью будет развит статистико-механический подход описания кинетики структурирования в неравновесных условиях сдвигового течения.
2. Исследование нелинейного диффузионного и магнитофоретического транспорта в нанодисперсных магнитных жидкостях с цепочечными агрегатами. С этой целью будет развита статистико-механическая модель локально равновесной магнитной жидкости с цепочечными структурами. Вычисление коэффициентов диффузионного и магнитофоретического транспорта будет осуществлено при помощи обобщенного термодинамического подхода Эйнштейна-Бэтчелора, позволяющего учесть магнитные и гидродинамические взаимодействия частиц, а также присутствие мезоскопических гетерогенных агрегатов. Будет изучена степень анизотропии транспортных процессов, порождаемой магнитным полем и внутренними гетерогенными структурами.
3. Теоретическое моделирование нелинейных вязкоупругих свойств и медленной реологической релаксации в магнитных жидкостях нового типа – системах композитных частиц, состоящих из ферромагнитных наночастиц, скрепленных полимерной оболочкой, а также в системах стержнеобразных частиц. Такие системы демонстрируют сильные магнитореологические эффекты в сочетании с высокой седиментационной устойчивостью, что открывает новые перспективы высокотехнологического применения магнитных жидкостей. Анализ будет основан на результатах исследования эволюции гетерогенных кластеров в изучаемых системах. В ходе решения этой задачи будут описаны накопленные в литературе эксперименты по нелинейному и нелокальному реологическому поведению композитных магнитных жидкостей (аномально медленная релаксация; остаточные напряжения после остановки течения среды; специфическая форма зависимости напряжения от скорости сдвига).
4. Развитие теории квазиупругих свойств и предела текучести в магнитных жидкостях с объемными плотными агрегатами, соединяющими противоположные границы области, занятой жидкостью. Развитие теории нелокального магнитовязкого эффекта в жидкостях с капельными агрегатами. Зависимость механических свойств магнитной жидкости от ее геометрических размеров и формы.
5. Определение новых динамических законов роста частиц в метастабильных жидкостях (в том числе, биологически активных) с учётом атомной кинетики присоединения атомов к межфазной поверхности частиц, а также эффекта Гиббса-Томсона (зависимости температуры фазового превращения от кривизны зародыша). Сопоставление развитой теории с экспериментальными данными по росту мезоскопических зародышей в пересыщенных растворах (например, кристаллизация белков и инсулинов) и переохлаждённых расплавах.
6. Разработка теории роста полидисперсных ансамблей зародышей в метастабильных жидкостях на основе новых динамических законов эволюции отдельных частиц. Формулировка и решение замкнутой системы управляющих уравнений для функции распределения частиц по размерам и степени метастабильности жидкости с учётом «диффузии» функции распределения по пространству размеров зародышей, источников/стоков в балансовых уравнениях и отвода кристаллов из метастабильной среды. Сопоставление развитой теории с данными эксперимента.
7. Развитие теории роста дендритоподобных кристаллов (паттернов) в метастабильной области фазового превращения с учётом гидродинамического течения многокомпонентной среды. Разработка линейной теории устойчивости роста в таких системах, вывод условия микроскопической разрешимости для определения устойчивой моды роста кристаллов. Анализ теоретических зависимостей и их сопоставление с экспериментальными данными для изучения особенностей морфологических переходов в материалах, а также для моделирования тезиографических препаратов крови (комплексные структуры, состоящие
из различных биокристаллоидов).
8. Моделирование движения клеток в живой ткани на основе мезоскопических интегро-дифференциальных и дробных уравнений для плотности частиц. Эти уравнения отличаются от традиционных уравнений массопереноса. Решение такой проблемы потребует развития нового (вероятностностного) подхода, который учитывает немарковский (нелокальный во времени) характер процессов с памятью в гетерогенных пространственных структурах. Такие эффекты в предыдущих исследованиях не рассматривались в силу сложности их моделирования.
9. Применение мезоскопических моделей аномального нелокального переноса для описания движения биологических клеток. Задача будет состоять в том, чтобы не постулировать механизмы нелокального транспорта, а в выводе нелокальных и дробных уравнений в частных производных из анализа микроскопических моделей движения клеток. Для верификации нелокальных моделей будут использованы методы Монте Карло, а также известные из литературы экспериментальные данные.
Планируемые задачи будут решены на основе единых математических методов стохастической нелокальной и нелинейной механики гетерогенных сред, развиваемых в работах руководителя проекта С.П. Федотова, а также в работах других участников проекта.
В проекте также будет участвовать приглашенный ведущий ученый А.М. Цирлин, являющийся крупнейшим специалистом в области оптимизационной термодинамики в неравновесных гетерогенных системах. Привлечение профессора Цирлина позволит исследовать проблему оптимального управления в рассматриваемых системах с точки зрения конкретных прикладных задач (например, определение оптимального режима работы кристаллизатора).